Autor:	Zvonimir Durcevic, Wien
	zvonko.durcevic@gmail.com

 

HYPERSPHÄRE UND HYPEREBENE

DIE GLEICHUNGEN, DIE DIE PUNKTMENGEN BESTIMMTER GEOMETRISCHER OBJEKTE BESCHREIBEN.

Alle Punkte C des d-dimensionalen euklidischen Raums (mit d>1), die in Bezug auf zwei gegebene Punkte A und B des Raums die Gleichungen erfüllen, bilden die (d-1)-dimensionalen geometrischen Objekte.

 

|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2 beschreibt die Punktmenge einer (d-1)-dimensionalen Sphäre (Hypersphäre) mit dem Durchmesser AB. (Nach Pythagoras und Thales)

|AB|=|AC| beschreibt die Punktmenge einer (d-1)-dimensionalen Sphäre (Hypersphäre) mit dem Radius AB.

|AB|^2=|AC|^2-|BC|^2 beschreibt die Punktmenge einer (d-1)-dimensionalen Ebene (Hyperebene), die den Punkt B enthält und auf der die Strecke AB senkrecht steht. (Nach Pythagoras)

 

|AC|=|BC| beschreibt die Punktmenge einer (d-1)-dimensionalen Ebene (Hyperebene), die die Symmetriehyperebene der Punkte A und B ist.

 

|AB|=|AC|+|BC| beschreibt die Punktmenge der Strecke AB. Ihre Form bleibt in allen Dimensionen erhalten.

 

|AB|=|AC|-|BC| beschreibt die Punktmenge des Strahls mit Anfangspunkt B, der vom Punkt A weg weist. Seine Form bleibt in allen Dimensionen erhalten.

 

|AB|/n=|AC|+|BC| beschreibt die Punktmenge eines (d-1)-dimensionalen Rotationsellipsoids mit den Brennpunkten A und B, für jede Wahl von 0<n<1. Entsprechend bilden alle diese Ellipsoide die Familie aller konfokalen Rotationsellipsoide mit den gegebenen Brennpunkten. (Für n=1 ergibt sich als Grenzfall die Strecke AB, ein eindimensionales Objekt.)

 

n|AB|=|AC|-|BC| beschreibt die Punktmenge eines (d-1)-dimensionalen einschaligen Hyperboloids mit den Brennpunkten A und B, für jede Wahl von -1<n<1 mit n ungleich 0. Entsprechend bilden alle diese Hyperboloide die Familie der konfokalen Hyperboloide mit den gegebenen Brennpunkten. (Für n=0 ergibt sich als Grenzfall die Symmetriehyperebene der Punkte A und B.) (Für n=+/-1 ergeben sich als weitere Grenzfälle Strahlen, jeweils eindimensionale Objekte.)

 

Bemerkungen:

a)  Steht statt "=" das Ungleichheitszeichen ">" (bzw. "<"), so beschreibt das die bestimmten Punktmengen des d-dimensionalen euklidischen Raums.
Ein Beispiel: (In Bezug auf |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2)
Steht statt "=" das Ungleichheitszeichen ">", so beschreibt das alle inneren Punkte C dieser Sphäre.
Steht statt "=" das Ungleichheitszeichen "<", so beschreibt das alle Punkte C des Raums außerhalb dieser Sphäre.

 

b)  Verschiedene Kombinationen dieser Gleichungen beschreiben die Punktmengen verschiedener komplexer Objekte.
Zwei Beispiele:
- Alle Punkte C des d-dimensionalen euklidischen Raums, die in Bezug auf zwei gegebene Punkte A und B des Raums die Gleichungen |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2 oder |AB|^2=|AC|^2-|BC|^2 erfüllen, bilden eine (d-1)-dimensionale Sphäre (Hypersphäre) mit ihrer (d-1)-dimensionalen Tangentialebene (Tangentialhyperebene) im Punkt B.

- Alle Punkte C des d-dimensionalen euklidischen Raums, die in Bezug auf zwei gegebene Punkte A und B des Raums die Gleichungen |AB|=|AC|+|BC| oder |AB|=|AC|-|BC| oder AB|=|BC|-|AC| erfüllen, bilden eine Gerade, die aus einer Strecke und zwei Strahlen besteht.

 

Ähnlich kann auch die Punktmenge eines (d-1)-dimensionalen Paraboloids im d-dimensionalen euklidischen Raum beschrieben werden.

Alle Punkte C des d-dimensionalen euklidischen Raums, die in Bezug auf zwei gegebene Punkte A und B des Raums die Gleichung |AC|=|BC| erfüllen, bilden eine (d-1)-dimensionale Hyperebene. Alle Punkte P des Raums die |AP|=|C_PP| erfüllen, wobei C_P Fußpunkt des Lots von P auf die o.g. Hyperebene ist, bilden ein (d-1)-dimensionales Paraboloid.

Der Punkt A ist der Brennpunkt dieses Paraboloids.

Die Hyperebene ist Leitebene des Paraboloids.

 

Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr. Christian Richter (Uni-Jena) und Herrn Prof. Dr. Franz Pauer (Uni-Innsbruck), die meine Arbeit gelesen und ergänzt haben.

 

Professor Richter:

(In Bezug auf |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2)

„Auch der Fall d=1 stimmt. Die eindimensionale Kugel mit dem Durchmesser AB besteht nur aus der Strecke AB und ihr Rand (im eindimensionalen Raum, also der reellen Zahlengeraden) besteht nur aus den beiden Punkten A und B. Im eindimensionalen Fall sind auch nur C=A und C=B Lösungen der o.g. Gleichung.“

 

(In Bezug auf |AC|=|BC|)

„Alle C mit |AC|=|BC| beschreiben die Hyperebene mit der Eigenschaft, dass die Spiegelung an ihr den Punkt A auf B und den Punkt B auf A abbildet (also die Symmetriehyperebene zwischen A und B).

Alle C mit |AC|<=|BC| beschreiben den Halbraum, der durch die o.g. Hyperebene begrenzt wird und A enthält.

Alle C mit |AC|>=|BC| beschreiben den Halbraum, der durch die o.g. Hyperebene begrenzt wird und B enthält.

Die Hyperebene ist die Schnittmenge der beiden Halbräume.“

 

Professor Pauer:

(In Bezug auf |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2 und |AB|^2=|AC|^2-|BC|^2)

„Ihre Aussagen sind korrekt und können mit dem Skalarprodukt (auf einem d-dimensionalen euklidischen Raum) leicht bewiesen werden (ich schreibe E.F für das Skalarprodukt von Punkten E und F). Mit dem Skalarprodukt schreibt man |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2  als (A-B).(A-B) = (A-C).(A-C) + (B-C).(B-C).

 

Wir können ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass der Streckenmittelpunkt 1/2 (A+B) der Nullpunkt 0 ist, dann ist B = -A und die (d-1)-Sphäre mit Mittelpunkt 0,  auf der A und B liegen, ist { C ; C.C = A.A}.

 

Sie haben gezeigt, dass { C ; C.C = A.A} = {C; (A-B).(A-B) = (A-C).(A-C) + (B-C).(B-C)} ist.

 

Mit Umformen (ausmultiplizieren und zusammenfassen) erhält man aus  (A-B).(A-B) = (A-C).(A-C) + (B-C).(B-C) die schrittweise die folgenden äquivalente Bedingungen (für C):

A.A-2A.B+B.B = A.A-2A.C + C.C + B.B -2B.C + C.C

 -2A.B =  - 2A.C - 2 B.C + 2 C.C

und wegen B = - A

2 A.A =  2 C.C

und schließlich A.A = C.C .

Daher sind die zwei Mengen oben gleich.

 

Die Bedingung |AB|^2=|AC|^2-|BC|^2 für C schreibt man mit dem Skalarprodukt als (A-B).(A-B) = (A-C).(A-C) - (B-C).(B-C)  an und formt sie wie oben zur äquivalenten Bedingung

-2A.B + B.B = -2A.C  - B.B  + 2 B.C   um.

Wegen B = -A ist diese zu

4 A.A  = - 4 A.C  äquivalent,

schließlich erhalten wir A.(A+C) = 0. Diese Bedingung bedeutet (wenn C nicht -A ist), dass die Geraden durch 0 und A sowie durch 0 und A+C zueinander normal stehen. Anders formuliert: A+C ist ein Element der (d-1)-dimensionalen Hyperebene durch 0, die normal zur Geraden durch 0 und A ist, somit ist C ein Element der (d-1)-dimensionalen Hyperebene durch -A=B, die normal zur Geraden durch 0 und A ist.“

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Ergänzung:

Das Konzept der Zerlegung des dreidimensionalen euklidischen Raums in alle Halbebenen, die von einer Geraden begrenzt werden, ermöglicht diesen Gleichungen die Beschreibung der Punktmengen weiterer geometrischer Objekte. (Ringtorus, Kegel, Unbegrenzter Kreiszylinder, ... )

(a)  In einer Ebene des dreidimensionalen euklidischen Raums seien zwei konzentrische Kreise.k1 und k2 mit Mittelpunkt M und Radien r1 und r2 gegeben, wobei 0<r1<r2 gilt. Die Gerade g sei die Senkrechte zu dieser Ebene im Punkt M. In jeder Halbebene [epsilon] des Raums, die von g begrenzt wird, liegen ein Punkt A aus k1 und ein Punkt B aus k2. Alle Punkte C aus [epsilon], die die Gleichung |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2 erfüllen, bilden einen Kreis mit Durchmesser AB. Die Vereinigung aller dieser Kreise aus allen solchen Halbebenen [epsilon] bildet einen Ringtorus.
Analog:
-  Hohlzylinder  ( ... , die die Gleichungen |AB|^2=|AC|^2-|BC|^2 oder |AB|^2=|BC|^2-|AC|^2 ... )

(a')  In einer Ebene des dreidimensionalen euklidischen Raums seien vier konzentriesche Kreise k1, k2, k3, k4 mit Mittelpunkt M und Radien r1, r2, r3, r4 gegeben, wobei 0<r1<r2<r3<r4 gilt. Die Gerade g sei die Senkrechte zu dieser Ebene im Punkt M. In jeder Halbebene [epsilon] des Raums, die von g begrenzt wird, liegen ein Punkt A1 aus k1, ein Punkt A aus k2, ein Punkt B  aus k3 und ein Punkt B1 aus k4, wobei (|A1B|=|AB1|)>|AB|>0 gilt. Alle Punkte C aus [epsilon], die die Gleichung |AC|+|BC|=|A1B1| erfüllen, bilden eine Ellipse mit Brennpunkten A und B, die die Punkte A1 und B1 enthält. Die Vereinigung aller dieser Ellipsen aus allen solchen Halbebenen [epsilon] bildet einen Torus, dessen Meridiane Ellipsen sind.
Analog:
Hohltorus  ( ... , die die Gleichungen |A1B1|^2=|A1C|^2+|B1C|^2 oder |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2 ... ) Torus (Ringtorus) mit Meridianen eines Spindeltorus   ( ... , die die Gleichungen |A1B|^2=|A1C|^2+|BC|^2 oder |AB1|^2=|AC|^2 +|B1C|^2 ... )

(b)  In einer Ebene des dreidimensionalen euklidischen Raums sei ein Kreis k mit Mittelpunkt M und Radius r gegeben, wobei r>0 gilt. Die Gerade g sei die Senkrechte zu dieser Ebene im Punkt M. Auf g sei ein Punkt B gegeben, wobei |BM|>0 gilt. In jeder Halbebene [epsilon], die von g begrenzt wird, liegt ein Punkt A aus k. Alle Punkte C aus [epsilon], die die Gleichung |AB|^2=|AC|^2-|BC|^2 erfüllen, bilden einen Strahl mit Anfangspunkt B. Die Vereinigung aller dieser Strahlen aus allen solchen Halbebenen [epsilon] bildet einen Kegel mit der Spitze B.
Analog:
-  Äußere Fläche eines Spindeltorus  ( ... , die die Gleichung |AB|=|AC| ... )

(c)  In einer Ebene des dreidimensionalen euklidischen Raums sei ein Kreis k mit Mittelpunkt A und Radius r gegeben, wobei r>0 gibt. Die Gerade g sei die Senkrechte zu dieser Ebene im Punkt A. In jeder Halbebene [epsilon], die von g begrenzt wird, liegt ein Punkt B aus k. Alle Punkte C aus [epsilon], die die Gleichung |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2 erfüllen, bilden einen Kreis mit Durchmesser AB. Die Vereinigung aller dieser Kreise aus allen solchen Halbebenen [epsilon] bildet einen Horntorus.
Analog:
-  Unbegrenzter gerader Kreiszylinder  ( ... , die die Gleichung |AB|^2=|AC|^2-|BC|^2 ... )

(d) In einer Ebene des dreidimensionalen euklidischen Raums sei ein Kreis k  mit Radius r gegeben, wobei r>0 gilt. Die Gerade g, die aus den Punkten B besteht, sei die Senkrechte zu dieser Ebene durch das Zentrum von k. In jeder Halbebene [epsilon] des Raums, die von g begrenzt wird, liegt ein Punkt A aus k. Alle Punkte C aus [epsilon], die die Gleichung |AC|=|BC| erfüllen, wobei B der Lotfußpunkt von C auf g ist, bilden eine Parabel mit Brennpunkt A und Leitlinie g. Die Vereinigung aller dieser Parabeln aus allen solchen Halbebenen [epsilon] bildet einen Torus, dessen Meridiane Parabeln sind.

(e) Im dreidimensionalen euklidischen Raum seien zwei parallele Ebenen gegeben. Eine dazu senkrechte Gerade g schneide die Ebenen in M1 bzw. M2. Der Mittelpunkt der Strecke M1M2 sei B. Weiterhin seien k1 und k2 zwei Kreise in den jeweiligen Ebenen um M1 bzw. M2 mit dem gleichen Radius r>0. In jeder Halbebene [epsilon] des Raums, die von g begrenzt wird, liegen ein Punkt A1 aus k1 und ein Punkt A2 aus k2. Alle Punkte C aus [epsilon], die die Gleichungen |A1B|^2=|A1C|^2-|BC|^2 oder |A2B|^2=|A2C|^2-|BC|^2 erfüllen, bilden zwei Strahlen
mit dem gemeinsamen Anfangspunkt B. Die Vereinigung aller dieser Strahlen aus allen solchen Halbebenen [epsilon] bildet einen Doppelkegel mit der gemeinsamen Spitze B.

Bemerkung:
Die Gleichungskombinationen (zwei oder mehr Gleichungen) beschreiben die Punktmengen zusammengesetzter Objekte.
Ein Beispiel:
(c)   In einer Ebene des ...
Alle Punkte C aus [epsilon], die die Gleichungen |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2 oder |AB|=|AC| erfüllen, bilden einen Kreis mit Durchmesser AB und einen Halbkreis, der den Punkt B enthält. Die Vereinigung aller dieser Kreise und Halbkreise aus allen solchen Halbebenen [epsilon] bildet einen Horntorus innerhalb einer Sphäre, die den Kreis k enthalten.

Webseite über Kurven: www.zvone.com/math/conic-sections/fixed_circle.html