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Im September 2004 machte ich die Arbeit:

KEGELSCHNITTE AUS DER KREISABSTANDSKONSTRUKTION

KREISABSTANDSKURVEN

Der geometrische Ort aller Punkte, die von zwei festen Kreisen denselben Abstand haben.

Konstruktion der Kurven:

Zeichnungen 1a, 1c, 2a, 3a:

k1 und k2 schneiden oder berühren einander nicht.

Alle einzelnen Kreisabstandskurven (alle einzelnen Kegelschnitte) liegen außerhalb von k2.

Nach Definition der Kreisabstandskurven soll AK1 = AK2 gelten.

Aus der Konstruktion geht es hervor:

Herleitung 1

K1K3 = K2M2 = r2

AK3 = AM2 (Da A auf g2 liegt.)

AK3 = K1K3 + AK1 = r2 + AK1

AM2 = K2M2 + AK2 = r2 + AK2

r2 + AK1 = r2 + AK2

AK1 = AK2

Zeichnung 1b:

k1 und k2 schneiden einander.

Diese Ellipse gehört zu den zusammengestzten Kreisabstandskurven (zwei Kegelschnitte; auch entartete Fälle).

(Zeichnung a der Zeichnungen a, b, c, d, e, f, g)

Teile dieser Kurven liegen innerhalb von k2.

Für alle A, die außerhalb von k2 liegen, gilt AK1 = AK2. (Herleitung 1)

Für A auf k2 gilt: AK1 = AK2 = K1K2 = 0

Für alle A die innerhalb von k2 liegen, gilt AK1 = AK2:

Herleitung 2

K1K3 = K2M2 = r2

AK3 = AM2 (Da A uaf g2 liegt.)

AK3 = K1K3 - AK1 = r2 - AK1

AM2 = K2M2 - AK2 = r2 - AK2

r2 - AK1 = r2 - AK2

AK1 = AK2

Dazu die Zeichnung von Prof. Dr. Dörte Haftendorn; mit anderen Bezeichnungen für A, K1, K2, K3, g1, g2.

http://haftendorn.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt/kurven/kegel/leitkreis/kreisabstand.htm

EIN SONDERFALL:

r₂ = 0; M₂ ist der Brennpunkt

Leitkreiskonstruktion aller Kegelschnitte
(Leitkreis – Brennpunkt – Konstruktion)

http://haftendorn.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt/kurven/kegel/leitkreis/leitkreis.htm
www.zvone.com/math/conic-sections/fixed_circle.html

The construction of all conic sections by means of two fixed circles.

THE GEOMETRIC LOCUS OF ALL POINTS THAT ARE EQUIDISTANT FROM TWO FIXED CIRCLES:

A special case:

r₂ = 0; M₂ is the focus

The construction of all conic sections by means of one fixed circle and one fixed point (focus).

http://haftendorn.uni-lueneburg.de/mathe-lehramt/kurven/kegel/leitkreis/leitkreis.htm
www.zvone.com/math/conic-sections/fixed_circle.html

Ergänzung:
ZUSAMMENGESETZTE KEGELSCHNITTE und ihre Sonderfälle als gemeinsamer geometrischer Ort aller Punkte, die von zwei festen Kreisen denselben Abstand haben.
Die festen Kreise schneiden oder berühren einander.

a) Ellipse – Hyperbelast
b) Ellipse – Strahl
c) Hyperbelast – Strecke
d) Ellipse – Gerade
e) Gerade – Strecke
f) Parabel – Strahl
g) Parabel – Parabel

Supplement:
COMPOSITE CONIC SECTIONS and their special cases as the common geometric locus of all points that are equidistant from two fixed circles.
The fixed circles cut or touch each other.

a) Ellipse – Branch of the hyperbola
b) Ellipse – Half line
c) Branch of the hyperbola – Line segment
d) Ellipse – Straight line
e) Straight line – Line segment
f) Parabola – Half line
g) Parabola - Parabola

Durch rotation der Zeichnungen (1a, 1b, ...; a, b, ...) um die Achsen f entstehen die Raumflächen:

• aus den Festen Kreisen die festen Kugeloberflächen

• aus den Kreisabstandskurven die Kugeloberflächenabstandsflächen (Die Oberfäche des Ellipsoids, usw.).
  Der beliebige Punkt dieser Flächen hat denselben Abstand von zwei festen Kugeloberflächen.

Rotating the drawings (1a, 1b, ...; a, b, ...) around the f axes creates the spatial surfaces:

• the  fixed surfaces of the spheres

• the surface of the ellipsoid, etc.
  The common definition of these surfaces:
  They are the geometric locus of all points that are equidistant from two fixed surfaces of the spheres.

Last Update: 02.02.2010

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